Математическая теория опционов. Модели ценообразования опционов


Попробуйте сервис подбора литературы. Оценка различных опционов имеет большое прикладное значение при разработке стратегий на мировых финансовых математическая теория опционов фондовых рынках. Для оценки опционов создана сложная математическая теория, которой посвящены десятки книг и тысячи журнальных статей.

Лауреатами нобелевских премий по экономике стали Самуэльсон, Мер-тон, Шоулс, внесшие основополагающий вклад в создание этой математической теории. Данная математическая теория является уникальным инструментом для расчета цен опционов. В настоящей работе дается обзор основных методов оценки опционов. Изложение ведется на примере опционов на акции, но аналогичные методы используются и для расчетов цен других опционов, а также для расчетов цен фьючерсов, свопов, облигаций с правом выкупа и ряда других ценных бумаг.

Введение Практическая задача, при решении которой применяются, и весьма серьезно, описываемые математические методы, - это поиск арбитража на финансовых и фондовых рынках. Арбитражем или чистым арбитражем называется возможность извлечения без риска прибыли, большей, чем безрисковый банковский процент.

Шведов A. Математическая теория опционов в реальном мире те же финансовые инструменты имеют свои цены. Меняются и цены финансовых инструментов в этом мире. Правильный выбор математической модели - это вопрос очень важный.

Но этот вопрос остается за рамками настоящей работы. Математическая теория, о которой идет речь, используется при работе не только с опционами, но и со многими другими финансовыми инструментами, например со свопами, фьючерсами, облигациями. Она является большой и сложной математической теорией, возникшей на стыке теории краевых задач для уравнений с частными производными, вычислительной математики и теории случайных процессов.

Но все же опционы играют в этой теории несколько особую роль. Это связано и с тем, что многие направления данной теории были созданы именно при решении задач об оценке опционов, и с тем, что вопросы оценки других финансовых инструментов часто сводятся к вопросам оценки опционов.

Опцион - это ценная бумага, дающая право ее владельцу купить определенное имущество у лица, выпустившего опцион, или продать определенное имущество лицу, выпустившему опцион по установленной цене в течение некоторого времени.

Опцион, дающий право купить имущество, называется опционом колл; опцион, дающий право продать имущество, называется опционом пут2.

математическая теория опционов

При заключении такого договора та сторона, которая приобретает право купить или продать имущество, должна заплатить другой стороне определенную сумму, независимо от того, воспользуется она этим правом.

Этот платеж может быть произведен и в рассрочку, но мы для простоты будем считать, что он производится за один прием. Обычно, если срок действия опциона еще не истек, владелец может математическая теория опционов опцион, то есть уступить свое право третьей стороне.

Та сумма, которую он получает при этом, может быть как значительно больше, так и значительно меньше той бинарные опционы профит, которая была заплачена им при заключении договора.

Относительно небольшие колебания цены покупаемого или продаваемого имущества в течение срока действия опциона могут вызвать весьма существенные изменения цены опциона.

Лекции. О математических методах, используемых при работе с опционами

Это означает, что его доходность может быть очень большой. В настоящее время получили распространение многие виды опционов. Только по видам имущества могут быть названы следующие. Валютные опционы, когда имуществом является иностранная валюта. Процентные опционы, позволяющие дать или взять взаймы под конкретную ставку процента в течение определенного периода, то есть продать или купить соответствующую облигацию.

Свопционы, дающие право на заключение операции своп на математическая теория опционов условиях, а также опционы прекращения свопа. Опционы на акции.

Опционы на товар. Опционы на фьючерсы. Индексные опционы, дающие право получить сумму пропорциональную приросту сверх определенного уровня или, наоборот, уменьшению некоторого биржевого индекса, если такой прирост уменьшение произойдет в течение математическая теория опционов времени.

Опционы на опционы. По правилу исполнения опционы делятся на американские, европейские и бермудские. Опцион называется американским, если имущество тиковая стратегия на 60 секунд быть куплено или продано в любой момент времени между датой заключения договора и датой его окончания, то есть в течение всего срока действия опциона. Опцион называется европейским, если имущество может быть куплено или продано только в момент окончания договора.

Опцион называется бермудским, если период, в течение которого он может быть исполнен, больше, чем для европейского, но меньше, чем для американского опционов с теми же датами начала и окончания договора. Данные названия являются условными, они не означают, что опционы с такими правилами исполнения существуют только в указанных местах.

математическая теория опционов

Опционы бывают биржевые и внебиржевые. Ликвидность биржевых опционов обеспечивается стандартным характером договоров. Литература, посвященная опционам и математической теории, разработанной для их оценки, огромна. В списке литературы в конце статьи названо несколько известных книг [2] математическая теория опционов [5], [7] - [12], [14] - [21], которые, в математическая теория опционов очередь, содержат большую библиографию.

В данной работе мы ограничиваемся рассмотрением европейских и американских опционов на акции и даем краткое описание основных существующих методов их оценки.

математическая теория опционов

Математическая теория опционов этом параграфе также выводится соотношение между ценами европейских опционов колл и пут, показывающее на конкретном примере, как условие отсутствия арбитража позволяет делать заключения о ценах опционов, и как может возникать арбитраж в реальном мире. Параграф 3 посвящен методу оценки опционов, когда для моделирования цен фондовых активов используются случайные процессы с дискретным временем.

Здесь обсуждается оценка опционов при помощи биномиальной модели и при помощи метода Монте-Карло. Параграф 4 посвящен случаю, когда для моделирования цен фондовых активов используются случайные процессы с непрерывным временем. Оценка опционов при этом производится путем решения краевых задач для уравнений с частными производными. Эти ценные бумаги участники рынка могут покупать и продавать.

Относительно условий покупки и продажи ценных бумаг делаются следующие предположения. Предполагается, что все ценные бумаги являются абсолютно ликвидными. Это значит, что в любой момент времени можно купить или продать любое количество ценных бумаг любого вида.

Опционы КОЛЛ и ПУТ. Экономическое и математическое содержание опционов. Основы теории и практики

Цена покупки совпадает с ценой продажи. Предполагается также, что все ценные бумаги являются бесконечно делимыми.

  • Из уравнения в частных производных в модели, известного как уравнение Блэка-Шоулзаможно вывести формулу Блэка-Шоулзакоторая дает теоретическую оценку цены опционов европейского типа и показывает, что опцион имеет уникальную цену независимо от риск ценной бумаги и ее ожидаемая доходность вместо ожидаемой доходности ценной бумаги ставка, нейтральная к риску.
  • Их часто используют при создании совместных предприятийв сделках слияний и поглощенийдля обеспечения стратегии выхода из проекта, для защиты прав при нарушении условий акционерных соглашений.
  • Модели ценообразования опционов
  • Короткие уколы, которые Николь испытывала до посещения Франции и города октопауков, превратились в непрерывную боль.
  • Лекции. О математических методах, используемых при работе с опционами | Semantic Scholar
  • Мобильные заработки в интернете
  • Не обнаруживай страха перед огромной царицей.
  • Процессия остановилась на улице несколько минут спустя, тесным кольцом окружив троих октопауков, занявших середину улицы.

То есть математическая теория опционов продать и купить, например, не только акцию, но и любую долю акции. Издержки, связанные с покупкой и продажей ценных бумаг, отсутствуют. Отсутствуют и налоги. Еще одно предположение состоит в том, что ни один из участников рынка своими действиями не может повлиять на цены активов. Но совместные действия всех участников рынка определяют процесс изменения цен активов.

Примеры договоров, составляющих портфель участника рынка Пусть - цена некоторой акции в момент времени г5Т - цена той же акции в момент времени Т. Пусть два участника рынка А и Б заключили между собой следующий договор. В момент времени г участник А получает от участника Б сумму. Схематически это можно представить следующим образом. Участник А играет на понижение цены акции, считая, что его будущие расходы уступят полученной им в момент г сумме.

Участник Б, напротив, играет на повышение, считая, что рост цены акции вместе с дивидендами позволят ему остаться в выигрыше. В этой сделке позиция участника А называется короткой, а позиция участника Б - длинной.

По-другому говорят, что участник А продал или выпустил акцию, а участник Б купил акцию. Отметим, что в принятых нами условиях идеального рынка не имеет значения, была ли произведена реальная передача акции или была передана соответствующая сумма денег. Набор подобных договоров составляет портфель участника рынка. Средства, полученные участником от выпуска одних акций, могут быть направлены им на покупку других акций.

математическая теория опционов

Однако с целью улучшения характеристик портфеля может быть целесообразно включить в него договора и другого вида. Например, А и Б могут заключить форвардную сделку. Никаких других платежей этот договор не предусматривает. Схематически форвардную математическая теория опционов можно представить следующим образом.

Ясно, что при заключении такой сделки участник Б должен был заплатить участнику А некоторую сумму Сг. В момент времени г участник Б покупает у участника А право купить у того в момент времени Т данную акцию по цене К. Если в момент времени Т рыночная цена акции ЗТ меньше К, то нет никакого смысла покупать акцию за К, так как ее можно купить за меньшую цену, и опцион остается неисполненным.

Европейский опцион пут - это сделка следующего вида. При заключе- нии такой сделки участник Б должен был заплатить участнику А некоторую сумму Математическая теория опционов.

Участник А выпустил опционы, а участник Б купил. Сг и Рг являются ценами данных опционов в момент времени г. Основные идеи методов оценки могут быть показаны на примерах европейских и американских опционов на покупку и на продажу акций, и в дальнейшем мы будем рассматривать только эти опционы.

Теория вероятностей для чайников. Математическое ожидание решает все

Но отметим еще раз, что даже если говорить только об опционах на акции, характер опционного договора может быть значительно более сложным. Например, размер выплаты может зависеть не только математическая теория опционов цены акции в момент исполнения опциона, но и от того, какой была цена акции в какие-то предшествующие моменты времени.

Математическая теория опционов портфели, содержащие опционы Чтобы показать еще одно приложение задачи об оценке опционов, кроме поиска арбитража, рассмотрим некоторые простейшие портфели. Покажем, в чем заключаются преимущества портфелей, состоящих из акции и из опциона на эту акцию перед портфелем, состоящим из одной акции. Считаем, что между моментами времени г и Т дивиденды по акции не выплачиваются. То есть по акции занята длинная позиция. Доход от такого портфеля, состоящего из одной акции, за период от г до Т составляет 8т - 5 г.

Разумеется, это число может быть как положительным, так и отрицательным. Имея акцию и защищаясь от возможности большого падения цены акции, инвестор купил математическая теория опционов пут с ценой исполнения К, то есть купил право продать акцию за К в момент времени.

математическая теория опционов

Доход от такого портфеля составляет тах 5т - -К - - р. Имея акцию и желая получить дополнительный доход, инвестор выпустил европейский колл с ценой исполнения К. Хотя это и уменьшит его доход, если к моменту времени т цена акции будет выше определенного уровня, инвестор идет на это ради получения большего дохода в случае, если цена акции к моменту времени T будет ниже этого уровня.

Факторы, от которых зависит цена опциона От каких величин должна зависеть цена опциона колл или цена опциона пут в момент времени t? Цена опциона должна зависеть от математическая теория опционов момента времени t и от срока истечения опциона T.

Цена опциона должна зависеть от текущей цены акции St и от цены исполнения K, а также от выплачиваемых дивидендов. Цена опциона должна зависеть от срочной структуры процентной ставки в момент времени t 3.

Изменчивость стоимости базового актива параметр волатильности в модели оценки может быть определена на основе анализа исторических данных, прогнозов, построения имитационных моделей.

Цена опциона должна зависеть от характера изменения цены акции с течением времени. Нетрудно понять, что чем больше колебания, которые испытывает цена акции, тем выше цена опциона. Цена опциона может зависеть от того, является этот опцион европейским или американским.

Реальные опционы и инвестиционные проекты в сфере недвижимости

Сколько должны стоить различные опционы на идеальном рынке, где отсутствует арбитраж? На этот вопрос отвечает математическая теория, которой посвящен данный доклад. Соотношение цен европейских опционов колл и пут Пусть европейский опцион колл и европейский опцион пут на некоторую акцию имеют одинаковую цену исполнения K и один и тот же срок истечения T.

Пусть между моментами времени t и T дивиденды по акции не выплачиваются.

Модели ценообразования опционов

В последующем мы будем считать такую схему рассуждений саму собой разумеющейся, но один раз проведем доказательство подробно. В момент времени г составим следующий портфель. Куплен европейский опцион колл с ценой исполнения К и со сроком истечения.

Выпущен европейский опцион пут с ценой исполнения К и со сроком истечения.

Используя опцион, владелец может совершать операции, которые позволяют зарабатывать при различных рыночных колебаниях при восходящем, нисходящем, боковом рыночном трендето есть извлекать выгоду и в периоды рыночной волатильности variability, volatility — изменчивость рыночной цены во времени. Контрактное соглашение, которое предоставляет возможность реализовать другим компаниям право на покупку или продажу в определенный момент времени в будущем чего-либо по заранее оговоренной цене, определяется как опцион. Опцион является договором между двумя сторонами, в соответствии с условиями которого одна сторона предоставляет другой право купить или продать определенный актив в установленный срок и по установленной цене.

Выпущена акция. Куплено К облигаций с погашением в момент времени. Никаких изменений в состав портфеля до момента времени т вносить не будем.

Мы покажем, что стоимость данного портфеля в момент времени т всегда равна 0. Тогда и стоимость этого портфеля в момент времени г должна быть равна нулю, иначе возникает арбитраж. Действительно, если стоимость портфеля в момент времени г положительна, то инвестор может математическая теория опционов этот портфель продав или купив по отдельности опционы, акцию и облигацииполучить некоторую сумму денег и затем закрыть все математическая теория опционов в момент времени ткогда суммарные платежи по портфелю равны 0.

Таким образом, инвестор из ничего получает некоторую сумму денег, что, конечно, больше, чем безрисковый банковский процент на нулевой начальный капитал инвестора, то есть является арбитражем.

Аналогично, если стоимость данного портфеля в момент времени г отрицательна, то инвестор может купить этот портфель и из ничего получить некоторую сумму денег. Притоки средств по каждой из позиций портфеля в моменты времени г и т показаны в следующей таблице.